連立方程式とは、連立方程式の問題と解き方(加減法と代入法)の解説

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二元一次方程式と解

文字を2つ含む一次方程式を二元一次方程式といい、この方程式を成り立たせる文字の値の組を解といいます。

・二元一次方程式→x + y = 4

連立方程式とは

2つの二元一次方程式を組み合わせたものを連立二元一次方程式といい、この2つの方程式を成り立たせる文字の値の組を解といいます。

二元一次方程式の解は無数にありますが、連立方程式の解は1組しかありません。

連立方程式の例


x + y = 1
2x – y = 5



連立方程式の解き方

連立方程式を解くには、2つの文字のうちの1つを消去して、一元一次方程式を導き、それを解けばいいのです。
解き方は書きの二通りがあります。

・加減法
1つの文字の係数の絶対値を等しくして、2つの式の辺どおしを加えたりひいたりして1つの文字を消去する


x – 3 = 4・・・①
2x – 7y = 9・・・②

上記の連立方程式を加減法で解くと、

①×2  2x – 6y = 8
②   -)2x – 7y = 9
    _______________
       y = -1

y = -1を①に代入して、x + 3 = 4からx = 1。
よって、x = 1、y = -1

・代入法

2つの式のうち、一方の指揮を1つの文字について解き、それを他方の式に代入して、1つの文字を消去する


y = 3x・・・①
5x – y = -4・・・②

上記の連立方程式を代入法で解くと、

、①を②に代入して、
5x – 3x = -4、2x = -4、x = -2となり、
x = -2を①に代入して、
y = 3 × (-2) = -6になる。
よって、x = -2、y = -6



・かっこがある連立方程式の解き方

分配法則を使ってかっこをはずし、式を簡単な形にして解く。


x + 2(x – y) = 2
2x – y = -1

上の式のかっこをはずして、簡単な形にします。

3x – 2y = 2
2x – y = -1


・係数が少数の連立方程式の解き方

両辺に10、100などをかけて係数を整数にし、式を簡単な形にして解く。


y = 4x – 10
0.3x + 0.2y = 1.8

両辺を10倍して、係数を整数にします。

y = 4x – 10
3x + 2y = 18


・係数が分数の連立方程式の解き方

両辺に分母の最小公倍数をかけて係数を整数にし、式を簡単な形にして解く


x/3 + y/2 = 2
2x – y = 4

両辺を6倍して、係数を整数にする

2x + 3y = 12
2x – y = 4



連立方程式の問題

1.次の連立方程式を解け。


5x – 3y = 3・・・①
2x – 3(y + 3) = 3・・・②


1.の答えと解説
②のかっこをはずし、式を簡単な形にすると、「2x – 3y = 12・・・③」
①   5x – 3y = 3
③  -)2x – 3y = 12
   ________
   3x    = -9となり、x = -3
x = -3を③に代入して、-6 – 3y = 12から-3y = 18からy = -6となります。
よって、x = -3、y = -6

2.次の連立方程式を解け。


2/3x + 1/2y = 1・・・①
2x – y = 8・・・②


2.の答えと解説
①の両辺に6をかけて、「4x + 3y = 6・・・③」
②×2  4x – 2y = 16
③   -)4x + 3y = 6
    _______
      -5y = 10からy = -2
y = -2を②に代入して、
2x + 2 = 8から2x = 6からx = 6となります。
よって、x = 3、y = -2


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